জ্যামিতি গণিতের একটি শাখা যেখানে আকার ও আকৃতি এবং এতদসম্পর্কিত বিভিন্ন আঙ্গিকের পারস্পরিক সম্পর্ক নিয়ে গবেষণা করা হয়। জ্যামিতিকে স্থান বা জগতের বিজ্ঞান হিসেবে গণ্য করা যায়। এখানে জগত বলতে ত্রিমাত্রিক জগতকে বুঝানো হয়েছে যা দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা বরাবর অসীম পর্যন্ত বিস্তৃত।

Geometry এর প্রতিশব্দ হলো জ্যামিতি। গ্রিক শব্দ geo এর ইংরেজি প্রতিশব্দ earth যার বাংলা অর্থ ভূমি এবং আরেকটি গ্রিক শব্দ metron এর ইংরেজি প্রতিশব্দ measurement যার বাংলা অর্থ পরিমাপ। এই দুইটি ভিন্ন শব্দ একত্রিত হয়ে geometry শব্দের উৎপত্তি; যার অর্থ দাঁড়ায় ভূমির পরিমাপ। এ থেকে বুঝা যায় যে, প্রাচীন গ্রিসবাসীরা ভূমির পরিমাপ করতে জ্যামিতি ব্যবহার করতেন।

জ্যামিতির মৌলিক উপাদানগুলোর মধ্যে বিন্দু, রেখা, সমতল, কোণ, বক্ররেখা, তল (সমতল বা বক্রতল) এবং ঘনবস্তু অন্তর্ভুক্ত।

জ্যামিতিক সকল সংজ্ঞা

সূক্ষ্মকোণ (Acute angle) : এক সমকোণ (90) অপেক্ষা ছোট কোণকে সূক্ষকোণ বলে।

সমকোণ (Right angle) : একটি সরল রেখার উপর অন্য একটি লম্ব টানলে এবং লম্বের দু’পাশে অবস্থিত ভূমি সংলগ্ন কোণ দুটি সমান হলে, প্রতিটি কোণকে সমকোণ বলে। এক সমকোণ=90

স্থূলকোণ (Obtuse angle) : এক সমকোণ অপেক্ষা বড় বিন্তু দুই সমকোণ অপেক্ষা ছোট কোণকে সথূলকোণ বলে।

Interest Calculation (সুদকষা)

  • আসলঃ যে পরিমাণ টাকা ধার দেওয়া বা নেয়া হয়, তাকে আসল বলে।
  • সুদঃ আসলের অতিরিক্ত যে টাকা ঋণদাতাকে দেওয়া হয়, তাকে সুদ বলে।
  • সুদাসলঃ সুদ + আসল
  • সরল সুদঃ সুদের হিসাব যদি পুরো সময়ের জন্য সুষমভাবে করা হয়, তবে তাকে সরল সুদ বলে।

সরল মুনাফার মূল সূত্রঃ

I = Crt/100
এখানে , I = মুনাফা , C= মূলধন , r = সুদের হার , t= সময় (বছর)।

চক্র বৃদ্ধি মুনাফার মূল সুত্রঃ

P =C (1+r)^n

কৌশলগত সুত্র

  • সরল সুদ = (আসল x সুদের হার x সময়) / ১০০
  • আসল = (১০০ x মোট সুদ) / (সুদের হার x সময়)
  • অংকে সুদাসল দেয়া থাকলে, আসল = (১০০ x সুদাসল) / (সময় x হার + ১০০)
  • সুদের হার = (১০০ x মোট সুদ) / (আসল x সময়)
  • সময় = (১০০ x মোট সুদ) / (আসল x সুদের হার)
  • চক্রবৃদ্ধি সুদের ক্ষেত্রে, সুদাসল = আসল (১ + সুদের হার/১০০)বছর

Profit-Loss (লাভ-ক্ষতি) অংকের বিভিন্ন শর্টকাট টেকনিক উদাহরণসহ শিখুনঃ

বিসিএস ব্যাংক সহ সকল প্রতিযোগীতা পরীক্ষায় লাভ ক্ষতির অংক প্রায়ই প্রশ্ন আসতে দেখা যায় । এক্ষেত্রে কিছু টেকনিক ফলো করলে অতি সহজেই আপনি লাভ-ক্ষতির অংক করতে পারেন। চলুন দেখে নিই লাভ ক্ষতির অংক করার শর্টকাট কিছু টেকনিক।

৫০ টাকার একটি পণ্য ৬০ টাকায় বিক্রি করলে ১০ টাকা লাভ হয়। আবার যদি বলা হয় ৪০ টাকায় একটি পণ্য বিক্রি করায় ১০ টাকা ক্ষতি হয়েছে তাহলে বলা যাবে না যে ৪০ টাকায় ১০ টাকা ক্ষতি হয়েছে কেননা যে কোন পণ্যের ক্রয়মূল্য ধরে লাভ ক্ষতি বের করতে হয়। তাই সেই পণ্যের ক্রয়মূল্য ছিল ৪০+১০=৫০, এবং অংক করার সময় লিখতে তে হবে ৫০টাকায় ক্ষতি হয়েছে ১০ টাকা।

এখান থেকে আমরা সুত্র বানাতে পারি যে

লাভের ক্ষেত্রেঃ

 (১) লাভ = বিক্রয়মূল্য – ক্রয়মূল্য (২) বিক্রয়মূল্য = ক্রয়মূল্য + লাভ এবং (৩) ক্রয়মূল্য = বিক্রয়মূল্য – লাভ

ক্ষতির ক্ষেত্রেঃ

(১) ক্ষতি = ক্রয়মূল্য – বিক্রয়মূল্য (২) ক্রয়মূল্য = বিক্রয়মূল্য + ক্ষতি এবং (৩) বিক্রয়মূল্য = ক্রয়মূল্য – লাভ

একটা সাধারন ভুল যা প্রায়শই সকলেই করেন। এর থেকে শিখে নিন:

ধরা যাক, ১০০ টাকায় একটি দ্রব্য বিক্রয় করায় ২৫ টাকা ক্ষতি হলো। শতকরা ক্ষতির হার কত?

এই অংকটি করতে গিয়ে অনেকে ১০০ টাকায় ক্ষতি হয় ২৫ টাকা লিখে রাখে যা একটি বোকামী। কেননা এখানে ১০০ তো বিক্রয়মূল্য! আর ২৫ টাকা ক্ষতি অর্থ ঐ দ্রব্যটি ১০০+২৫=১২৫ টাকায় কেনা হয়েছিল। তাই লিখতে হবে ১২৫ টকায় ক্ষতি হয়েছে ২৫ টাকা । ক্ষতির হার =25/100 × 100=২০% । কিন্তু ১০০ টাকায় ক্ষতি হয়েছে ২৫লিখলে ভুল হবে।

লাভ ক্ষতির সাধারণ সূত্র:

  • লাভ = বিক্রয় মূল্য – ক্রয় মূল্য
  • ক্ষতি = ক্রয় মূল্য - বিক্রয় মূল্য
  • লাভ বা ক্ষতি সব সময় ক্রয় মূল্যের উপর হিসেব করা হয়।
  • ধর যাক কোন কিছু ১০% লাভে বিক্রয় করা হলো, তাহলে বিক্রয় মূল্য = ক্রয় মূল্যের ১১০%।
  • ধর যাক কোন কিছু ১০% ক্ষতিতে বিক্রয় করা হলো, তাহলে বিক্রয় মূল্য = ক্রয় মূল্যের ৯০%।

কৌশলগত সূত্র

  • ক্ষতি % = (ক্ষতি x ১০০) / ক্রয় মূল্য
  • লাভ % = (লাভ x ১০০) / ক্রয় মূল্য
  • লাভ এর ক্ষেত্রে ক্রয় মূল্য = (১০০/(১০০+ লাভ %)) x বিক্রয় মূল্য
  • ক্ষতি এর ক্ষেত্রে ক্রয় মূল্য = (১০০/(১০০ – ক্ষতি %)) x বিক্রয় মূল্য

লাভ ক্ষতি অংকের শর্টকাট টেকনিক/সূত্র/পদ্ধতি/নিয়ম উদাহরণসহঃ

পদ্ধতি ০১: ক্ষতিতে বিক্রিত পণ্যের ক্রয়মূল্যের ক্ষেত্রে – [লাভের হার উল্লেখ না থাকলে] ক্রয়মূল্য = (১০০ x বিক্রয়মূল্য) / (১০০ – ক্ষতির শতকরা হার)

অংকঃ ৫৬০ টাকায় একটি ঘড়ি বিক্রয় করায় ২০% ক্ষতি হল। তাহলে ঘড়িটির ক্রয়মূল্য কত ছিলো?

সমাধানঃ ঘড়িটির ক্রয়মূল্য= (১০০ x বিক্রয়মূল্য) / (১০০ – ক্ষতির শতকরা হার)
=(১০০ x ৫৬০) / (১০০ – ২০)
=৭০০ টাকা

পদ্ধতি 0২: বিক্রয়কৃত পণ্য সংখ্যা= (বিক্রয়কৃত পণ্য সংখ্যা / ক্রয়মূল্য) x (১০০ x বিক্রয়মূল্য / ১০০ + লাভ)

প্রশ্নঃ এক টাকায় ৬ টা করে ক্রয় করে টাকায় কয়টা বিক্রয় করলে ২০% লাভ হবে?

সমাধানঃ বিক্রয়কৃত পণ্যের সংখ্যা= (বিক্রয়কৃত পণ্যের সংখ্যা/ক্রয়মূল্য) x (১০০xবিক্রয়মূল্য/১০০+লাভ)
=(৬/১) x (১০০x১/১০০+২০) টি
=৫টি।

পদ্ধতি 0৩: লাভে বিক্রিত পণ্যের ক্রয়মূল্যের ক্ষেত্রে – ক্রয়মূল্য= (১০০xবিক্রয়মূল্য) / (১০০+লাভের শতকরা হার)

অংকঃ ২৭৬ টাকায় একটি ছাগল বিক্রি হওয়ায় ১৫% লাভ হয়। ছাগলটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধানঃ ক্রয়মূল্য= (১০০xবিক্রয়মূল্য) / (১০০+লাভের শতকরা হার)
=(১০০x২৭৬) / (১০০+১৫) টাকা
=২৪০ টাকা।

পদ্ধতি 0৪: লাভে বিক্রিত পণ্যের বিক্রয়মূল্যের ক্ষেত্রে–বিক্রয়মূল্য= {মোট লাভ(১০০+লাভের হার)} / লাভের হার।

অংকঃ কোন একটি জিনিস বিক্রি করে বিক্রেতা ক্রয়মূল্যের ৩৫% লাভ করে। এতে মোট ২৮০ টাকা লাভ হলে, জিনিসটির বিক্রয়মূল্য কত?

সমাধানঃ বিক্রয়মূল্য= {মোট লাভ(১০০+লাভের হার)}/ লাভের হার
={২৮০(১০০+৩৫)}/ ৩৫ টাকা
=১০৮০ টাকা।

পদ্ধতি 0৫: পণ্য ক্ষতিতে বিক্রয়ের ক্ষেত্রে, [লাভের হার উল্লেখ থাকলে] পণ্য সংখ্যা= বিক্রীত পণ্যের সংখ্যা x (১০০–ক্ষতি)/(১০০+লাভ)

অংকঃ ১২ টি লেবু টাকায় বিক্রয় করায় ৪% ক্ষতি হয়। ৪৪% লাভ করতে হলে টাকায় কয়টি লেবু বিক্রয়করতে হবে?

সমাধানঃ পণ্যের সংখ্যা= বিক্রীত পণ্যের সংখ্যা x (১০০–ক্ষতি)/(১০০ + লাভ)
=১২x(১০০–৪)/(১০০ + ৪৪) টি লেবু
=৮টি লেবু।

পদ্ধতি 0৬: নির্দিষ্ট সংখ্যক পণ্যের ক্রয় বিক্রয়ের ক্ষেত্রে–শতকরা লাভ= (বিক্রয়মূল্য–ক্রয়মূল্য)x১০০/ক্রয়মূল্য

অংকঃ ১২ টি করে আমড়া ২০ টাকায় কিনা হলো আবার, প্রতিটি আমড়া ২ টাকা করে বিক্রি করলে শতকরা কত লাভ হবে?

সমাধানঃ শতকরা লাভ= (বিক্রয়মূল্য–ক্রয়মূল্য)x১০০/ক্রয়মূল্য
=(২৪–২০)x১০০/২০ %
=২০ %

পদ্ধতি 0৭: ক্ষতিতে পণ্য বিক্রয়ের ক্ষেত্রে–[লাভের হার উল্লেখ না থাকলে] ক্ষতির হার=(ক্ষতিx১০০)/(বিক্রয়মূল্য + ক্ষতি)

অংকঃ যে কোনো একটি দ্রব্য ৩৮০ টাকায় বিক্রি করা হলো এতে, ২০ টাকা ক্ষতি হলো। ক্ষতির শতকরা হার কত?

সমাধানঃ ক্ষতির হার=(ক্ষতিx১০০)/(বিক্রয়মূল্য+ক্ষতি)
=(২০x১০০)/(৩৮০+২০) %
=৫ %

পদ্ধতি 0৮: সংখ্যাযুক্ত পণ্যের ক্রয়মূল্য বিক্রয়ের ক্ষেত্রে শতকরা লাভ=(নির্দিষ্ট মূল্যে ক্রয়কৃত সংখ্যা–নির্দিষ্ট
মূল্যে বিক্রিত সংখ্যা)x১০০/নির্দিষ্ট মূল্যেবিক্রীত সংখ্যা।

অংকঃ ৬ টি কমলার বিক্রয়মূল্য, ৮টি কমলার ক্রয়মূল্যের সমান হলে শতকরা কত লাভ হবে?

সমাধানঃ শতকরা লাভ=(নির্দিষ্ট মূল্যে ক্রয়কৃত সংখ্যা–নির্দিষ্ট মূল্যে বিক্রিত সংখ্যা)x১০০/নির্দিষ্ট মূল্যে বিক্রিত সংখ্যা।
=(৮-৬)x১০০/৬ %
=৩৩.৩৩ %

পদ্ধতি 0৯: ক্রয় বিক্রয়ে ক্রমিক সংখ্যার ক্ষেত্রে–ক্ষতি=১০০/(টাকায় যতটি বিক্রি হয়)^২

অংকঃ এক টাকায় ৫টি ও টাকায় ৭ টি দরে সমান সংখ্যক জামরুল কেনা হলো, আবার টাকায় ৬ টি দরে বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ বা ক্ষতি হবে?

সমাধানঃ ক্ষতি=১০০/(টাকায় যতটি বিক্রি হয়)^২
=১০০/(৬)^২ %
=২৭/৯ %

পদ্ধতি ১০: ক্ষতিতে বিক্রিত পণ্যের ক্রয়মূল্যের ক্ষেত্রে–[লাভের হার উল্লেখ থাকলে] ক্রয়মূল্য=(১০০xযত টাকা বেশী বিক্রয়)/(ক্ষতির শতকরা হার+লাভের শতকরা হার)

অংকঃ এক বিক্রেতা ১২.৫% ক্ষতিতে একটি জিনিস বিক্রি করে। যে মূল্যে তিনি জিনিসটি বিক্রি করলেন, তার চেয়ে ৩০ টাকা বেশি মূল্যে বিক্রি করলে ক্রয়মূল্যের উপর ২৫% লাভ হতো। জিনিসটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধানঃ ক্রয়মূল্য=(১০০xযত টাকা বেশী বিক্রয়)/(ক্ষতির শতকরা হার+লাভের শতকরা হার)
=(১০০x৩০)/(১২.৫+২৫) টাকা
=৮০ টাকা।

Profit Loss Math in English:

A trade where selling an item was asking for such a price that would enable him to offer a 10% discount and still make a profit of 20%. If the cost of the product was tk 50, what was his asking price?

Solution:
If the cost price was 50tk then @20% profit selling price is = 50 + 50 ✕ 20/100 = 60tk
@ 10% discount
If the selling price is 90 then asking price is 100
If the selling price is 1 then asking price is 100/90
If the selling price is 60 then asking price is (100 ✕ 60)/90 = 66.67 Ans.

A merchant purchased a jacket for Tk. 60 and then determined a selling price that equaled the purchase price of the jacket plus a markup that was 25 percent of the celling price. During a sale, the merchant discounted the selling price by 20 percent and sold the jacket. What was the merchant’s gross profit on this sale? 

Solution: Cost of a jacket = Tk. 60.
At 25% markup on selling price, markup = Tk. 60 × 25/(100-25)
                                                                  = Tk. 20.
So, the marked price is = Tk. (60+20)
                                      = Tk. 80.
At 20% discount, actual selling price is = Tk. 80 × (100-20)/100
                                                               = Tk. 64.
So, gross profit on this sale = Tk. (64-60)
                                             = Tk. 4.
Answer: Tk. 4.