মোহাম্মদ আবদুল্লাহ

গণিত বিভাগ,

ঢাকা ‍বিশ্ববিদ্যালয়।

 

2) √3 এবং 4 এর মাঝে দুটি মূলদ এবং দুটি অমূলদ সংখ্যা নির্ণয় কর।

[একটি মূলদ ও একটি অমূলদ বা দুটি মূলদ বা দুটি অমূলদ সংখ্যার মাঝে অসংখ্য মূলদ এবং অমূলদ সংখ্যা  রয়েছে।]

√3=1.7320508…..

 4=4.0000000……

মনে করি, ‍ক=1.74 এবং খ=4.12। স্পষ্টত: √3<ক<4 এবং √3<খ<4 [ক এবং খ এর মান যে কোন কিছু ধরা যাবে, তবে এক্ষেত্রে খেয়াল রাখতে হবে যে, মান গুলো অবশ্যই প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর মাঝে থাকতে হবে এবং দুটি পূর্ণ সংখ্যার ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যাবে।]

সুতরাং, ক এবং খ সংখ্যা দুটি মূলদ সংখ্যা।

আবার মনে করি,

গ=1.742356………এবং ঘ=4.123589……… ,

যার মধ্যে দশমিকের পর পুনরাবৃত্তি কোন অঙ্ক বা সংখ্যা নেই। এবং এদের দুটি পূর্ণ সংখ্যার ভগ্নাংশ আকারে ও প্রকাশ করা যায় না।

স্পষ্টত: √3<গ<4 এবং √3<ঘ<4 [গ এবং ঘ এর মান যে কোন কিছু ধরা যাবে, তবে এক্ষেত্রে খেয়াল রাখতে হবে যে, মান গুলো অবশ্যই প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর মাঝে থাকতে হবে।]

সুতরাং, গ এবং ঘ সংখ্যা দুটি অমূলদ সংখ্যা।

 

মোহাম্মদ আবদুল্লাহ

প্রমাণ কর যে, √২ অমূলদ সংখ্যাঃ-


উক্ত সংখ্যাটি অমূলদ সংখ্যা কিনা তা প্রমাণ করার জন্য প্রথমেই আমাদের মূলদ সংখ্যা এবং অমূলদ সংখ্যা সম্পর্কে জানা উচিত।
মূলদ সংখ্যা:-  ধ এবং ন দুটি পূর্ণ সংখ্যা এবং ন≠০ হলে ধ/ন আকারের সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়। যেমন, ৫/২=২.৫, ৬/৩=৩.০, ৩/১=৩ সংখ্যাগুলো মূলদ সংখ্যা। উদাহরণ থেকে দেখা যাচ্ছে যে, মূলদ সংখ্যাকে দুটি পূর্ণ সংখ্যার অনুপাত আকারে প্রকাশ করা যায়।
সকল পূর্নসংখ্যা,  সসীম দশমিক ভগ্নাংশ, অসীম আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ হচ্ছে মূলদ সংখ্যা।
অমূলদ সংখ্যা:-  যে সংখ্যাকে ধ/ন আকারে প্রকাশ করা যায় না, যেখানে, ধ এবং ন দুটি পূর্ণ সংখ্যা এবং ন≠০, সে সব সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়। পূর্ণবর্গ নয় এরুপ যে কোন সংখ্যার বর্গমূল একটি অমূলদ সংখ্যা। যেমন, √২, √৩,√৫ সংখ্যাগুলোকে দুটি পূর্ণ সংখ্যার অনুপাত আকারে প্রকাশ করা যায় না।


এবার, মূল আলোচনায় আসা যাক, √২ অমূলদ সংখ্যা প্রমাণ করার জন্য সংজ্ঞানুসারে আমাদের দুটি শর্ত পূরণ করতে হবে।
 ১)   √২ পূর্ণ সংখ্যা নয়। [ কারণ, যে কোন পূর্ণ সংখ্যা মূলদ সংখ্যা]
 ২)     সংখ্যাটিকে দুটি পূর্ণসংখ্যার অনুপাত আকারে প্রকাশ করা যাবে না।


১) আমরা জানি,
   ১^২=১, ২^২=৪, (√২)^২=২
দেখা যাচ্ছে যে, ১^২<(√২)^২<২^২
         বা, ১<√২<২
√২,  ১ অপেক্ষা বড় এবং ২ অপেক্ষা ছোট। আবার, ১ এবং ২ এর মাঝে কোন পূর্ণ সংখ্যা নেই। সুতরাং, √২ পূর্ণ সংখ্যা নয়। এক্ষেত্রে, আমরা বলতে পারি, সংখ্যাটি মূলদ সংখ্যা নয়। কিন্তু, সংখ্যাটিকে দুটি পূর্ণসংখ্যার অনুপাত আকারে প্রকাশ করা গেলে সংখ্যাটি মূলদ সংখ্যা হয়ে যাবে। এখন, আমাদের দেখাতে হবে যে, সংখ্যাটিকে দুটি পূর্ণসংখ্যার অনুপাত আকারে প্রকাশ করা যাবে না।
২) মনে করি, √২ মূলদ সংখ্যা
ধরি, √২=ধ/ন
    (√২)^২=(ধ/ন)^২
       ২=ধ^২/ন^২
       ২ন=ধ^২/ন
স্পষ্টত: ২ন পূর্ণসংখ্যা কিন্তু,ধ^২/ন, পূর্ণসংখ্যা নয়, কারণ, ধ ও ন স্বাভাবিক সংখ্যা ও এরা পরস্পর সহমৌলিক এবং ন>১. ২ন এবং ধ^২/ন সমান হতে পারে না, অর্থাৎ ২ন ≠ ধ^২/ন।
√২এর মান আকারের কোনো সংখ্যা হতে পারে না। অর্থাৎ, √২≠ধ/ন। সুতরাং, √২ সংখ্যাটিকে দুটি পূর্ণসংখ্যার অনুপাত আকারে প্রকাশ করা যায় নি।

√২ একটি অমূলদ সংখ্যা।

নোট:-

সহমৌলিক সংখ্যা:-  সহমৌলিক সংখ্যা হচ্ছে এমন দুইটি ধনাত্নক পূর্ণ সংখ্যা যাদের মধ্যে ১ ব্যতীত অন্য কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই।

যেহেতু, √২ পূর্ণ সংখ্যা নয়, সেহেতু, সহমৌলিক সংখ্যা না নিলে সংখ্যাটি পূর্ণ সংখ্যা হতে পারে।

আবার, ন>১ না নিলে ও সংখ্যাটি পূর্ণ সংখ্যা হতে পারে। যেহেতু, আমরা প্রথমেই দেখছি যে, √২ পূর্ণ সংখ্যা নয়।

 

বর্গের সূত্রাবলী
(a+b)2 = (a-b)2 + 4ab

(a-b)2 = (a+b)2 - 4ab

a2 + b2 = 1/2{(a+b)2 + (a-b)2}

(a+b+c)2 = a2+b2+c2 +2ab+2bc+2ca

(a-b-c)2 = a2+b2+c2 -2ab+2bc-2ca

a2+b2+c2 = (a+b+c)2 - 2(ab+bc+ca)